倍数和因数

教学内容：义务教育数学课程标准实验教科书苏教版四年级下册第70—72页。

教学目标：

1、通过用动手操作活动丰富感性认识，建立乘法与倍数、因数的内在联系；深刻理解倍数和因数的本质内涵，能举例说明倍数和因数。

2、依据倍数和因数的含义，联系已有的知识、经验和方法，自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法，感受数学思考的魅力和智慧学习的理性价值。

3、丰富数学课堂生活，重建数学课堂文化，在探索中，感受数学知识的内在联系，体会数学内容的奇妙，产生学习数学的浓厚兴趣。

资源整合：

课堂上注重学生学习的基础性学习资源，捕捉开发学习过程中的生成性教学资源，丰富课堂生活，构建共生互惠、和谐发展的数学课堂文化。

教学过程：

一、创设情景，操作诱疑——明确探究目标

1、操作激活。

 请学生将12个同样大小的正方形拼成一个长方形，你能想出几种不同的拼法？并想一想：每排摆几个，摆了几排？并用一个算式表达出你的拼法。

2、全班交流。

4×3=12         6×2=12          12×1=12

3×4=12        2 ×6=12          1×12=12

揭示课题：今天我们要根据这些算式研究数学新本领。

二、操作实践，内化建构——促进自主探究

㈠自学尝试，举例内化——认识因数和倍数

1、自学尝试：

师请学生自学课本第70页的内容，并让学生说一说看懂了什么？还有什么疑问？

根据学生自学情况的汇报和交流，教师适时指出：因为4×3=12，所以我们可以说12是4的倍数，12也是3的倍数。4是12的因数，3也是12的因数。（同时板书）

问：你能根据6×2=12这个算式说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？（指名说一说）12×1=12这个算式呢？

2、举例内化：

你能写出一个算式，让你的同桌找一找因数和倍数吗？（学生互说，教师巡视找出典型例子）

相互依存的关系：请学生结合生活实例说明。

教学预设：预计学生在自己写算式的过程中，会有诸如5×5＝25、7×1＝7、0×8＝0等，如果学生有特殊的0×8=0。在学生回答之后教师可以指出，我们研究因数倍数是一般指不是0的自然数。如果没有出现这类特殊的算式，教师有效介入，帮助启迪学生思考，发展深刻性的思维品质。

指出：我们不仅可以根据乘法算式找因数和倍数，也可以根据除法算式找因数和倍数。

3、变式拓展：

出示数字百宝箱：写有“4、60、15、1、2、3、10、20、8、40”等数，请学生任意抽两张数字卡片，思考能否用倍数和因数造句说话。

㈡自主探究，意义建构——找因数和倍数

1、创设情境，自主探究：

请学生写出3的倍数。预计学生在写3的倍数时，会有这样几种情况出现：一是写得多与少的区别，二是找的方法上的区别。具体表现为：一是无序、没有方法地写出了一些，如30、9、15，而且只是写出了几个；二是有顺序地用乘法口诀写出了3、6、9、12、15、18、21、24等等，三是用加法的方法，每次递加3；四是用除法想，（    ）÷3＝1、（    ）÷3＝2、（    ）÷3＝3的方法写出了3、6、9、12、15、18等。同时可能还会有学生在教师宣布时间到的时候会因为3的倍数写不完而抱怨时间太少。

请写得又多又快的同学介绍自己的好方法、小窍门。在此基础上交流评价小结方法：评价时突出有序思维的策略：

一是用想乘法的方法，根据3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9，3×4＝12等；

二是用想除法的方法，根据3÷3＝1，6÷3＝2，9÷3＝3，12÷3＝4等；

三是用递加的方法，即根据3，3＋3＝6，6＋3＝9，9＋3＝12，12＋3＝15等：

          3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21……（板书）

2、迁移内化，自主探究：

⑴尝试迁移：请学生尝试迁移，用自己喜欢的方法写出2的倍数和5的倍数。

2的倍数有：2，4，6，8，10，12……（板书）

5的倍数有：5，10，15，20，25……（板书）

⑵引导观察：请学生观察以上这些数的倍数，有什么发现？

（一个数的倍数的个数是无限的，一个数最小的倍数是它本身。）

3、拓展提升，主动建构：

⑴迁移尝试：请学生试着找出36的所有因数。

⑵交流方法：教师即时捕捉开发学生在课堂上的基础性教学资源，并及时创生为生成性的教学资源，引导学生在交流中评价，在评价中探究，在发现中建构。预计学生会有这样几种情况出现：一是写得多与少的区别，二是找的方法上的区别。具体表现为：一是无序、没有方法地写出了一些，如2，3，6，而且仅此写出了几个；二是有顺序地用乘法（  ）×（   ）＝36的方法，一对一对地写出了1，36，2，18，3，12，4，9，6，但没有按照从小到大的顺序写；三是用除法36÷（  ）＝（  ）的方法想，而且是有顺序地从小到大全部写出： 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

⑶启迪思考：怎样找才能不重复不遗漏？在小组里说一说。

找一个数的因数时要做到不重复也不遗漏，方法可以有：

用乘法（  ）×（   ）＝36的方法，一对一对地写；

或者是用除法36÷（  ）＝（  ）的方法想，而且是有顺序地从小到大全部写。

36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。（板书）

⑷引导观察：尝试写出30、16的所有因数。

30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。（板书）

16的因数有：1，2，4， 8，16。（板书）

观察：看一看这些数的因数，你有什么发现？（36最小的因数是1，最大的是36，……一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。）

三、变式拓展，实践应用---—促进智能内化

1、实例感悟。

指导学生做书本“想想做做”的第2题和第3题。

2、判断正误：

⑴5×4＝20，5是因数，20是倍数。………………………………………………（    ）

⑵9的所有因数是1，9。      ………………………………………………（    ）

⑶8的倍数一定比8大。      ………………………………………………（    ）

⑷一个数的倍数肯定比这个数的因数大。……………………………………（    ）

3、游戏激趣：

（学生各拿写有自己学号的卡片）游戏规则：老师出一个数，看你卡片上的数是否符合下面的条件，符合的请举起你的卡片。

例如，师：我是15，我找我的倍数。我是20，我找我的因数。

我是几，你们的学号都是我的倍数？我是你们的因数？

四、创生文化，享受数学——感悟文化魅力

教师引导学生一起探索完美数的奥秘。

有趣的“12”

赵 蓉 侠

一年有12个月，一天有12个时辰，人有12生肖，音乐中有12平均律，钟表上时针旋转一圈是12小时。12，这一普普通通的数竟与我们的日常生活息息相关，密不可分，它所蕴含的许多奇妙性质竟能给人以无穷的遐想。

粗看12，也可发现它的一些巧妙的特点，它的数字结构中，十位数字是1，个位数字是2。它的因数竟将前四个自然数全部包含，秩序是一种美，而12是蕴含着内在秩序美的一个数字。12的因数的个数竟是它的一半。12是因数比较多的一个数，人们考虑到这一点，总觉得应将12定为进位制比较优越。

如果你要知道一个整数除以12的余数是12，只要你将个位数乘2⁰，十位数乘（-2）¹，百位数乘2²，千位数乘（-2）³……依次类推，即第n位数乘（-2）ⁿ即可，最后将各数加起来，就可以知道其余数。如1651除以12的余数是7，而我们可不做除法，只要求出：1×1+5×（-2）+6×4+1×（-8）的值即可，它正是7。从中可知12与它的因子2的密切关系了。如果从1—12个数中选取K个数，使这K个数两两作差，便能得到从1到12的十二个数，问最小的K值是什么，巧得很，它正是12的因子6，这6个数其中一种选法是0，1，4，7，10，12。12的倒数你可知道是多少吗，它竟然基本是由它的因数3组成，它是0．833……，而这个数里含有的8也正是它的因子2与因子4的乘积。

12的因子与12有多少奥妙所在？我们难于列举。如果我们掉过头来再从12的倍数中去观察。可知12更是一个美的使者。12的2倍是二十四，可是一年有二十四节气，一天有二十四个小时。12的3倍是36，兵法有三十六计，如果你感冒了，那么在鼻翼两侧，用大拇指摩擦36下，就有好转，36下很有讲究，多一下少一下都认为不妥。12的5倍是60，每小时60分，每分60秒，每亩地有六十平方丈。12的六倍是72，可七十二行，行行出状元，孙悟空神通广大有七十二种变化。12是一个有趣的数，可9也是一个奇妙的数，9与12的乘积108就更令人神秘难测了，我国素有古代钟王之称的永乐大钟，每次撞钟都是108下。为什么要撞108下，有人解释为“扣一百零八声者一岁一意也，每年有十二月，二十四气，七十二候，正是此数。”古时和尚的念珠也是108颗。在青铜峡电站的附近，远远可看见一群群整整齐齐的高塔，塔群依山势自下而上，按奇数列成12行，总计108座。有的气功功法所做动作，如果做108下，效果就好，108还可以写成2和3的各自次方乘积，整齐是一种美，而2²×3³=108,不正体现了整齐美之所在吗？108的种种特点，又给12披上了一层神秘的面纱。

有人可能要问，12及其倍数24，36，60，72，108，为何在人们的生活中有那么重要的地位，并能显示出神秘的光彩？如果你懂得医学，你就会知道，原来人体结构竟是12的天地，人体上的许多结构竟与12奇巧地挂钩。如脑共有12经脉，12经脉与12藏相对应，沟通人体脏腑、表里上下的联系，小肠的第一部分叫十二指肠，胸部是十二的大本营，十二块胸椎，12对肋骨，脊髓有十二胸节，并由此发生12对神经等等，这些广泛的用途不说明了12的有趣吗？

在西方人眼里，13是一个不吉利的数字，但其邻居12却备受人们青睐，如长度单位一英尺等于12英寸，重量单位用金，药衡中一磅等于12盎司，一先令等于12便士，一打等于12个，足球比赛点球距离为12码等。

12的确是一个非常有趣的数，它在数字王国里是一颗闪着神奇光芒的明珠，它那些神奇的性质给人们以多么美好的意蕴，多么有趣的遐想啊！